\subsection{函数 \texorpdfstring{$y = A \sin(\omega x + \varphi)$}{y=A sin(o x+ v)} 的图象}\label{subsec:2-9}

在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如 $y = A \sin(\omega x + \varphi)$ 的函数（其中，$A$，$\omega$，$\varphi$ 是常数）。
例如；物体作简谐振动时位移 $y$ 与时间 $x$ 的关系，交流电中电流强度 $y$ 与时间 $x$ 的关系等，
都可用这类函数来表示。下面来讨论这类函数的简图的作法。

\vspace{0.5em}
\liti 作函数 $y = 2\sin x$ 及 $y = \dfrac 1 2 \sin x$ 的简图。
\vspace{0.5em}

\jie 函数 $y = 2\sin x$ 及 $y = \dfrac 1 2 \sin x$ 的周期 $T = 2\pi$，我们先来作 $x \in [0, 2\pi]$ 时函数的简图。

列表：

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{8em}|*{5}{w{c}{3em}|}}
    \hline
    $x$ & $0$ & $\dfrac \pi 2$ & $\pi$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\ \hline
    $\sin x$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ \hline
    $2\sin x$ & $0$ & $2$ & $0$ & $-2$ & $0$ \\ \hline
    $\dfrac 1 2 \sin x$ & $0$ & $\dfrac 1 2$ & $0$ & $-\dfrac 1 2$ & $0$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

描点作图（图 \ref{fig:2-23}）：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{pic/2-23}
    \caption{}\label{fig:2-23}
\end{figure}

利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出 $y = 2\sin x, \, x \in R$ 及 $y = \dfrac 1 2\sin x, \, x \in R$ 的简图（从略）。
\vspace{0.5em}

从图 \ref{fig:2-23} 可以看出，对于同一个 $x$ 值，$y = 2\sin x$ 的图象上点的纵坐标等于 $y = \sin x$
的图象上点的纵坐标的 $2$倍。因此，$y = 2\sin x$ 的图象可以看作是把 $y = \sin x$ 的图象上所有点的
纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍（横坐标不变）而得到的。从而，$y = 2\sin x, \, x \in R$ 的值域是 $[-2, 2]$，
最大值是 $2$，最小值是 $-2$。

类似地，$y = \dfrac 1 2\sin x$ 的图象可以看作是把 $y = \sin x$ 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的
$\dfrac 1 2$ \vspace{0.5em} 倍（横坐标不变）而得到的。从而 $y = \dfrac 1 2\sin x, \, x \in R$ 的值域是
$\left[ -\dfrac 1 2 , \dfrac 1 2 \right]$，最大值是 $\dfrac 1 2$，最小值是 $-\dfrac 1 2$。
\vspace{0.5em}

一般地，函数 $y = A\sin x \, (A > 0 \text{且} A \neq 1)$ 的图象可以看作是把 $y = \sin x$ 的图象上
所有点的纵坐标伸长（当 $A > 1$ 时）或缩短（当 $0 < A < 1$ 时）到原来的 $A$ 倍（横坐标不变）而得到的。
$y = A\sin x, \, x \in R$ 的值域是 $[-A, A]$，最大值是 $A$，最小值是 $-A$。

\vspace{0.5em}
\liti 作函数 $y = \sin 2x$及 $y = \sin \dfrac 1 2 x$ 的简图。
\vspace{0.5em}

\jie 函数 $y = \sin 2x$ 的周期 $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$，我们先来作 $x \in [0, \pi]$ 时函数的简图。

设 $2x = X$，那么 $\sin 2x = \sin X$。
当 $X$ 取 $0$，$\dfrac \pi 2$，$\pi$，$\dfrac{3\pi}{2}$，$2\pi$ 时，\vspace{0.5em} 所对应的五点是函数
$y = \sin X, \, X \in [0, 2\pi]$ 图象上起关键作用的点。这里 $x = \dfrac X 2$，\vspace{0.5em} 所以
当 $x$ 取 $0$，$\dfrac \pi 4$，$\dfrac \pi 2$，$\dfrac{3\pi}{4}$，$\pi$ 时，所对应的五点是函数
$y = \sin 2x, \, x \in [0, \pi]$ 图象上起关键作用的点。

列表：

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{8em}|*{5}{w{c}{3em}|}}
    \hline
    $x$ & $0$ & $\dfrac \pi 4$ & $\dfrac \pi 2$ & $\dfrac{3\pi}{4}$ & $\pi$ \\ \hline
    $2x$ & $0$ & $\dfrac \pi 2$ & $\pi$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\ \hline
    $\sin 2x$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

函数 $y = \sin \dfrac 1 2 x$ 的周期 $T = \dfrac{\, 2\pi \,}{\dfrac 1 2} = 4\pi$，
我们来作 $x \in [0, 4\pi]$ 时函数的简图。

列表：

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{8em}|*{5}{w{c}{3em}|}}
    \hline
    $x$ & $0$ & $\pi$ & $2\pi$ & $3\pi$ & $4\pi$ \\ \hline
    $\dfrac 1 2 x$ & $0$ & $\dfrac \pi 2$ & $\pi$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\ \hline
    $\sin \dfrac 1 2 x$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

描点作图（图 \ref{fig:2-24}）：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{pic/2-24}
    \caption{}\label{fig:2-24}
\end{figure}

利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出 $y = \sin 2x, \, x \in R$ 及 $y = \sin \dfrac 1 2 x, \, x \in R$ 的简图（从略）。
\vspace{0.5em}

从图 \ref{fig:2-24} 可以看出，在函数 $y = \sin 2x$ 的图象上横坐标为 $\dfrac{x_0}{2} \, (x_0 \in R)$ \vspace{0.5em}
的点的纵坐标同 $y = \sin x$ 上横坐标为 $x_0$ 的点的纵坐标相等（例如，当 $x_0 = \dfrac \pi 2$
时，$\sin \left( 2 \cdot \dfrac{x_0}{2} \right) = \sin \dfrac \pi 2 = 1$，
$\sin x_0 = \sin \dfrac \pi 2 = 1$）。因此，$y = \sin 2x$ 的图象可以看作是把 $y = \sin x$
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac 1 2$ 倍（纵坐标不变）而得到的。

类似地，$y = \sin \dfrac 1 2 x$ 的图象可以看作是把 $y = \sin x$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变）而得到。

一般地，函数  $y = \sin \omega x \, (\omega > 0 \text{且} \omega \neq 1)$ 的图象，可以看作是把
$y = \sin x$ 的图象上所有点的横坐标缩短（当 $\omega > 1$ 时）或伸长（当 $0 < \omega < 1$时）
到原来的 $\dfrac 1 \omega$ 倍（纵坐标不变）而得到的。

\liti 作函数 $y = \sin \left( x + \dfrac \pi 3 \right)$ 和 $y = \sin \left( x - \dfrac \pi 4 \right)$ 的简图。
\vspace{0.5em}

\jie 函数 $y = \sin \left( x + \dfrac \pi 3 \right)$ 的周期是 $2\pi$，
我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。

设 $x + \dfrac \pi 3 = X$，那么 $\sin \left( x + \dfrac \pi 3 \right) = \sin X$，$x = X - \dfrac \pi 3$。
当 $X$ 取 $0$，$\dfrac \pi 2$，$\pi$，$\dfrac{3\pi}{2}$，$2\pi$ 时，
$x$ 取 $-\dfrac \pi 3$，$\dfrac \pi 6$，$\dfrac{2\pi}{3}$，$\dfrac{7\pi}{6}$，$\dfrac{5\pi}{3}$，
所对应的五点是函数 $y = \sin \left( x + \dfrac \pi 3 \right), \, x \in \left[ -\dfrac \pi 3, \dfrac{5\pi}{3} \right]$
图象上起关键作用的点。
\vspace{0.5em}

列表：

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{8em}|*{5}{w{c}{3em}|}}
    \hline
    $x$ & $-\dfrac \pi 3$ & $\dfrac \pi 6$ & $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\dfrac{7\pi}{6}$ & $\dfrac{5\pi}{3}$ \\ \hline
    $x + \dfrac \pi 3$ & $0$ & $\dfrac \pi 2$ & $\pi$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\ \hline
    $\sin \left( x + \dfrac \pi 3 \right)$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

类似地，对于函数 $y = \sin \left( x - \dfrac \pi 4 \right)$，可以列出下表：

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{8em}|*{5}{w{c}{3em}|}}
    \hline
    $x$ & $\dfrac \pi 4$ & $\dfrac{3\pi}{4}$ & $\dfrac{5\pi}{4}$ & $\dfrac{7\pi}{4}$ & $\dfrac{9\pi}{4}$ \\ \hline
    $x - \dfrac \pi 4$ & $0$ & $\dfrac \pi 2$ & $\pi$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\ \hline
    $\sin \left( x - \dfrac \pi 4 \right)$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

描点作图（图 \ref{fig:2-25}）：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{pic/2-25}
    \caption{}\label{fig:2-25}
\end{figure}

利用这类函数的周期性，我们可以把所得到的简图向左、右扩展，得出
$y = \sin \left( x + \dfrac \pi 3 \right), \, x \in R$ 及
$y = \sin \left( x - \dfrac \pi 4 \right), \, x \in R$ 的简图（从略）。
\vspace{0.5em}

由图 \ref{fig:2-25} 可以看出，
$y = \sin \left( x + \dfrac \pi 3 \right)$ \vspace{0.5em} 的图象可以看作是把 $y = \sin x$ 的图象上所有的点向左平行移动 $\dfrac \pi 3$ 个单位而得到的，
$y = \sin \left( x - \dfrac \pi 4 \right)$ \vspace{0.5em} 的图象可以看作是把 $y = \sin x$ 的图象上所有的点向右平行移动 $\dfrac \pi 4$ 个单位而得到的。
\vspace{0.5em}

一般地，函数 $y = \sin(x + \varphi), \, (\varphi \neq 0)$ 的图象，可以看作是把 $y = \sin x$
的图象上所有的点向左（当 $\varphi > 0 $ 时）或向右（当 $\varphi < 0$ 时）平行移动 $|\varphi|$ 个单位而得到的。

\vspace{0.5em}
\liti 作函数 $y = 3\sin \left( 2x + \dfrac \pi 3 \right)$ 的简图。
\vspace{0.5em}

\jie 函数 $y = 3\sin \left( 2x + \dfrac \pi 3 \right)$ 的周期 $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$。
我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。

设 $X = 2x + \dfrac \pi 3$，那么 $3\sin(2x + \dfrac \pi 3) = 3\sin X$，
$x = \dfrac{X - \dfrac \pi 3}{2} = \dfrac X 2 - \dfrac \pi 6$。
当 $X$ 取 $0$，$\dfrac \pi 2$，$\pi$，$\dfrac{3\pi}{2}$，$2\pi$ 时，
$x$ 取 $-\dfrac \pi 6$，$\dfrac{\pi}{12}$，$\dfrac{\pi}{3}$，$\dfrac{7\pi}{12}$，$\dfrac{5\pi}{6}$，
所对应的五点是函数 $y = 3\sin \left( 2x + \dfrac \pi 3 \right), \, x \in \left[ -\dfrac \pi 6, \dfrac{5\pi}{6} \right]$
图象上起关键作用的点。

列表：

\begin{table}[H]
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|w{c}{8em}|*{5}{w{c}{3em}|}}
    \hline
    $x$ & $-\dfrac \pi 6$ & $\dfrac{\pi}{12}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{7\pi}{12}$ & $\dfrac{5\pi}{6}$ \\ \hline
    $2x + \dfrac \pi 3$ & $0$ & $\dfrac \pi 2$ & $\pi$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\ \hline
    $3\sin \left( 2x + \dfrac \pi 3 \right)$ & $0$ & $3$ & $0$ & $-3$ & $0$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

描点作图（图 \ref{fig:2-26}）：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{pic/2-26}
    \caption{}\label{fig:2-26}
\end{figure}


利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到
$y = 3\sin \left( 2x + \dfrac \pi 3 \right), \, x \in R$ 的简图（从略）。

函数 $y = 3\sin \left( 2x + \dfrac \pi 3 \right)$ 的图象可以看作是用下面的方法得到的：
先把 $y = \sin x$ 的图象上所有的点向左平行移动 $\dfrac \pi 3$ 个单位，得到 $y = \sin \left( x + \dfrac \pi 3 \right)$ 的图象；
再把 $y = \sin \left( x + \dfrac \pi 3 \right)$ 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac 1 2$倍（纵坐标不变），得到 $y = \sin \left( 2x + \dfrac \pi 3 \right)$ 的图象；
再把 $y = \sin \left( 2x + \dfrac \pi 3 \right)$ 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的 $3$ 倍（横坐标不变），从而得到 $y = 3\sin \left( 2x + \dfrac \pi 3 \right)$ 的图象。
\vspace{0.5em}

一般地，函数 $y = A \sin(\omega x + \varphi), \, (A > 0, \, \omega > 0), \, x \in R$
的图象可以看作是用下面的方法得到的：
先把 $y = \sin x$ 的图象上所有的点向左（$\varphi > 0$）或向右（$\varphi < 0$）平行移动 $|\varphi|$ 个单位，
\vspace{0.5em} 再把所得各点的横坐标缩短（$\omega > 1$）或伸长（$0 < \omega < 1$）到原来的 $\dfrac 1 \omega$ 倍（纵坐标不变），
\vspace{0.5em} 再把所得各点的纵坐标伸长（$A > 1$）或缩短（$0 < A < 1$）到原来的 $A$ 倍（横坐标不变）。

当函数 $y = A \sin(\omega x + \varphi), \, (A > 0, \, \omega > 0), \, x \in [0, +\infty)$ \vspace{0.5em}
表示一个振动量时，$A$ 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的\textbf{振幅}；
往复振动一次所需要的时间 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$，它叫做振动的\textbf{周期}；
单位时间内往复振动的次数 $f = \dfrac 1 T = \dfrac{\omega}{2\pi}$，它叫做振动的\textbf{频率}；\vspace{0.5em}
$\omega x + \varphi$ 叫做 \textbf{相位}，$\varphi$ 叫做 \textbf{初相}（即当 $x = 0$ 时的相位）。

\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{3}{@{}p{14em}}}
        \xiaoxiaoti {$y = \dfrac 3 2 \sin x$；} & \xiaoxiaoti{$y = \dfrac 1 3 \sin x$；} \\
        \xiaoxiaoti {$y = \sin 4x$；} & \xiaoxiaoti{$y = 2\sin \dfrac 1 3 x$；} \\
        \xiaoxiaoti {$y = \sin \left( x + \dfrac \pi 4 \right)$；} & \xiaoxiaoti{$y = \sin \left( x - \dfrac \pi 2 \right)$；} \\
        \xiaoxiaoti {$y = 4\sin \left( x - \dfrac \pi 3 \right)$；} & \xiaoxiaoti{$y = \sin \left( 2x + \dfrac \pi 6 \right)$；} \\
        \xiaoxiaoti {$y = 5\sin \left( \dfrac 1 2 x + \dfrac \pi 6 \right)$；} & \xiaoxiaoti{$y = \dfrac 1 2 \sin \left( 3x - \dfrac \pi 4 \right)$。} \\
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\vspace{0.5em}
\xiaoti{函数 $y = \dfrac 1 8 \sin x$的振幅是多少？它的图象与函数 $y = \sin x$ 的图象有什么关系？}
\vspace{0.5em}

\xiaoti{函数 $y = \sin \dfrac 2 3 x$ 的周期是多少？它的图象与函数 $y = \sin x$ 的图象有什么关系？}
\vspace{0.5em}

\xiaoti{函数 $y = \sin \left( x - \dfrac{\pi}{12} \right)$ 的初相是多少？它的图象与函数 $y = \sin x$ 的图象有什么关系？}
\vspace{0.5em}

\end{xiaotis}
